7.10 풀이

편의상 각 $i$번째 round의 결과를 $r_i = (X, Y)$ 로 쓴다.

a)

$f_i(x) = 0^{l/2}$인 경우.

$$\begin{aligned} r_0 &= (L_0, R_0) \\ r_1 &= (R_0, L_0 \oplus f_i(R_0)) = (R_0, L_0 \oplus 0) = (R_0, L_0) \\ r_2 &= (L_0, R_0 \oplus f_i(L_0)) = (L_0, R_0 \oplus 0) = (L_0, R_0) = r_0 \\ \end{aligned}$$

이렇게 반복되는 것을 알 수 있다. 따라서

$$F_k(L_0, R_0) = \begin{cases} (L_0, R_0) &\text{if } r \bmod 2 = 0 \\ (R_0, L_0) &\text{if } r \bmod 2 = 1 \\ \end{cases}$$

b)

$f_i(x) = x$인 경우.

$$\begin{aligned} r_0 &= (L_0, R_0) \\ r_1 &= (R_0, L_0 \oplus f_i(R_0)) = (R_0, L_0 \oplus R_0) \\ r_2 &= (L_0 \oplus R_0, R_0 \oplus f_i(L_0 \oplus R_0)) = (L_0 \oplus R_0, R_0 \oplus L_0 \oplus R_0) = (L_0 \oplus R_0, L_0) \\ r_3 &= (L_0, L_0 \oplus R_0 \oplus f_i(L_0)) = (L_0, L_0 \oplus R_0 \oplus L_0) = (L_0, R_0) = r_0 \\ \end{aligned}$$

이렇게 반복되는 것을 알 수 있다. 따라서

$$F_k(L_0, R_0) = \begin{cases} (L_0, R_0) &\text{if } r \bmod 3 = 0 \\ (R_0, L_0 \oplus R_0) &\text{if } r \bmod 3 = 1 \\ (L_0 \oplus R_0, L_0) &\text{if } r \bmod 3 = 2 \\ \end{cases}$$